上三角、下三角、对称矩阵

说明

上三角矩阵是矩阵在对角线以下的元素均为0，即A_ij = 0，i < j，例如：


1	2	3	4	5
0	6	7	8	9
0	0	10	11	12
0	0	0	13	14
0	0	0	0	15

下三角矩阵是矩阵在对角线以上的元素均为0，即A_ij = 0，i < j，例如：


1	0	0	0	0
2	6	0	0	0
3	7	10	0	0
4	8	11	13	0
5	9	12	14	15

对称矩阵是矩阵元素对称于对角线，例如：


1	2	3	4	5
2	6	7	8	9
3	7	10	11	12
4	8	11	13	14
5	9	12	14	15

上三角或下三角矩阵也有大部份的元素不储存值（为0），我们可以将它们使用一维阵列来储存以节省储存空间，而对称矩阵因为对称于对角线，所以可以视为上三角或下三角矩阵来储存。

解法

假设矩阵为nxn，为了计算方便，我们让阵列索引由1开始，上三角矩阵化为一维阵列，若以列为主，其公式为：

loc = n*(i-1) - i*(i-1)/2 + j

化为以行为主，其公式为：

loc = j*(j-1)/2 + i

下三角矩阵化为一维阵列，若以列为主，其公式为：

loc = i*(i-1)/2 + j

若以行为主，其公式为：

loc = n*(j-1) - j*(j-1)/2 + i

公式的导证其实是由等差级数公式得到，您可以自行绘图并看看就可以导证出来，对于C/C++或Java等索引由0开始的语言来说，只要将i与j各加1，求得loc之后减1即可套用以上的公式。

参考代码

C

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43


#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#define N 5 

int main(void) { 
    int arr1[N][N] = { 
        {1, 2, 3,  4,   5}, 
        {0, 6, 7,  8,   9}, 
        {0, 0, 10, 11, 12}, 
        {0, 0, 0,  13, 14}, 
        {0, 0, 0,  0,  15}}; 

    int arr2[N*(1+N)/2] = {0}; 

    int i, j, loc = 0; 

    printf("原二维资料：\n"); 
    for(i = 0; i < N; i++) { 
        for(j = 0; j < N; j++) { 
            printf("%4d", arr1[i][j]); 
        } 
        printf("\n"); 
    } 

    printf("\n以列为主："); 
    for(i = 0; i < N; i++) { 
        for(j = 0; j < N; j++) { 
            if(arr1[i][j] != 0) 
                arr2[loc++] = arr1[i][j]; 
        } 
    } 
    for(i = 0; i < N*(1+N)/2; i++) 
        printf("%d ", arr2[i]); 

    printf("\n输入索引(i, j)："); 
    scanf("%d, %d", &i, &j); 
    loc = N*i - i*(i+1)/2 + j; 
    printf("(%d, %d) = %d", i, j, arr2[loc]); 

    printf("\n"); 

    return 0; 
}

Java

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36


public class TriangleArray {
    private int[] arr;
    private int length;
    
    public TriangleArray(int[][] array) {
        length = array.length;
        arr = new int[length*(1+length)/2];
        
        int loc = 0;
        for(int i = 0; i < length; i++) { 
            for(int j = 0; j < length; j++) { 
                if(array[i][j] != 0) 
                    arr[loc++] = array[i][j]; 
            } 
        }
    }
    
    public int getValue(int i, int j) {
        int loc = length*i - i*(i+1)/2 + j;
        return arr[loc];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[][] array = { 
                {1, 2, 3,  4,   5}, 
                {0, 6, 7,  8,   9}, 
                {0, 0, 10, 11, 12}, 
                {0, 0, 0,  13, 14}, 
                {0, 0, 0,  0,  15}};
        
        TriangleArray triangleArray =
                                   new TriangleArray(array);
        
        System.out.print(triangleArray.getValue(2, 2));
    }
}